7年级数学培优系列有理数创新题型展播老
2023/9/27 来源：不详有理数是初中数学的重要内容，也是中考命题的热点之一，除了常见题型外，为了考查学生核心素养及综合运用知识能力，还出现一些创新问题，举例如下。
一、数形结合题
例1（秋启东市校级月考）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s．若
p﹣r
=10，
p﹣s
=12，
q﹣s
=9，则
q﹣r
的值是_______．
根据数轴可得，p＜q＜r＜s，
∵
p﹣r
=10，
p﹣s
=12，
q﹣s
=9，
∴p﹣r=﹣10，p﹣s=﹣12，q﹣s=﹣9，
∴p=r﹣10，p=s﹣12，
∴r﹣10=s﹣12，
∴s=r+2，
∴q﹣s=q﹣r﹣2=﹣9，
∴q﹣r=﹣7，
∴
q﹣r
=7．
故答案为7．
点评:本题是与绝对值相关的数形结合问题，正确理解绝对值的意义,并能认真观察分析图形是解答问题的关键.
二、规律探究题
例2（赤峰中考题）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 _________．
∵第一个图形有2+1×2=4个，
第二个图形有2+2×3=8个，
第三个图形有2+3×4=14个，
第四个图形有2+4×5=22个，
…
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
三、实际应用题
例3（秋温州校级月考）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度)：
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是().
A．米B．米C．米D．-米
解析:由表格提供的信息知，A比C高90米，C比D高80米，D比E高60米，E比F高-50米，F比G高70米，G比B高-40米，所以A相对观测点B的高度为:90+80+60+(-50)+70+(-40)=(米)，故应选A.
点评:本题的数据较多，认真审题，理解观测点相对高度和负数量的意义，是解答本题的关键.本题还可以结合图形，利用数形结合的方法解答，会更形象、直观，易于理解.
四、新定义运算题
例4（秋高邑县期末）符号“f，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…，f（10）=9，…；
A．2B．1C．D．
观察，发现规律：f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…，f（10）=9，…，
∴f（n）=n﹣1（n为正整数）；
故选：B．
点评:做新定义运算题时，应认真分析规定的新运算，严格套用新定义进行运算，解题的关键是读懂题意，注意将新的信息向已有知识的转化。
四、源于经典名题的改造题
例4（秋鄱阳县校级期中）某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第8年时，树木的分枝数为_________．
解析：从表中可以发现：从第三年起，每年的分枝数都等于前面两年的分枝数之和，即树木的分枝数符合斐波那契数列的规律，.因此，第6年时，树木的分枝数为第4年的分枝数加上第5年树木的分枝数为8，第7年为8+5=13，第8年为13+8=21，填21.
点评：斐波那契数列的规律是：从第三个数起，每个数都等于前两个数的和.掌握这个规律是解答相关问题的关键.
五、数形结合探究题
例5（秋莒县期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为
AB
．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，
AB
=
OB
=
b
=
a﹣b
，当A、B两点都不在原点时，
点A、B都在原点的右边，如图2，
AB
=
OB
﹣
OA
=
b
﹣
a
=b﹣a=
a﹣b
；
点A、B在原点的左边，如图3，
AB
=
OB
﹣
OA
=
b
﹣
a
=﹣b﹣（﹣a）=
a﹣b
；
点A、B在原点的两边，如图4，
AB
=
OA
+
OB
=
a
+
b
=a+（﹣b）=
a﹣b
．
综上，数轴上A、B两点的距离
AB
=
a﹣b
．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是_______，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________，如果
AB
=2那么x为____．
（3）当代数式
x+1
+
x﹣2
取最小值时，相应x的取值范围是________．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：5﹣2=3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是﹣2﹣（﹣5）=3，
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4；
故答案为：3；3；4；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是
x+1
，
AB
=2，则
x+1
=2，故x=1或﹣3；
故答案为：
x+1
，1或﹣3；
（3）若
x+1
+
x﹣2
取最小值，那么表示x的点M在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2；
故答案为：﹣1≤x≤2．
点评：此题通过数与形的结合归纳出两点之间的距离公式，并通过数形结合解决问题.
六、动点探究题
例6（秋梁子湖区期中）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，
a
=10，a+b=80，ab＜0．
（1）求出a，b的值；
（2）现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？
②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
（1）∵A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，
a
=10，a+b=80，ab＜0，
∴a=﹣10，b=90，
即a的值是﹣10，b的值是90；
（2）①由题意可得，
点C对应的数是：90﹣[90﹣（﹣10）]÷（3+2）×2=90﹣÷5×2=90﹣40=50，
即点C对应的数为：50；
②设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）﹣20]÷（3+2）
=80÷5
=16（秒），
设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
[90﹣（﹣10）+20]÷（3+2）
=÷5
=24（秒），
由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，化动为静，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
练习
1.（秋东莞市期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．
（1）求2※4的值；
（2）求（1※4）※（﹣2）的值；
（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．
2.（竞秀区一模）已知，数轴上三个点A、O、B．点O是原点，固定不动，点A和B可以移动，点A表示的数为a，点B表示的数为b．
（1）若AB移动到如图所示位置，计算a+b的值．
（2）在图的情况下，B点不动，点A向左移动3个单位长，写出A点对应的数a，并计算b﹣
a
．
（3）在图的情况下，点A不动，点B向右移动15.3个单位长，此时b比a大多少？请列式计算．
练习答案
1.（1）9；
（2）﹣9；
（3）﹣4，﹣4；
（4）a※（b+c）+1=a※b+a※c．
2.（1）﹣8．
（2）﹣13﹣11．
（3）27.3
